4 Übungs­aufgaben zum Gleichungslösen durch Ausklammern, Substitution und mit trigonometrischen Termen.
Übung für das Mathematik-Abitur Baden-Württemberg, Pflichtteil, Aufgabe 3

Mit Steck­brief­aufgaben bezeichne ich Aufgaben, bei denen die Gleichung einer ganzrationalen Funktion aufgestellt werden muss, von der bestimmte Eigenschaften gegeben sind. Die häufigsten Formulierungen finden sich auf dem Aufgabenblatt.

Steckbriefaufgaben und andere Aufgaben, die auf linare Gleichungssysteme führen.
Bei den Lösungen wird zum Teil der GTR verwendet.

Übungen zum Thema Ableiten als Gruppenpuzzle mit vier Gruppen.
Aufgaben zum Ableiten mit Kettenregel, Produktregel, Quotientenregel und zum Ableiten mit der Limes-Definition der Ableitung.

Zur Einführung des Integrals als Grenzwert von Zerlegungssummen eignet sich folgender Unterrichtsgang:
1. Schritt: Für einfache Funktionen (z.B. f(x)=2; f(x)=x; f(x)=x+1; f(x)=0,5x+1) wird der Inhalt der Fläche zwischen dem Schaubild von f und der x-Achse über dem Intervall von a bis x berechnet. Man erkennt, dass die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion A_adie Funktion f ergibt.
2. Schritt: Bei krummlinig berandeten Flächen kann man nur Näherungswerte berechnen. Eine gute Näherung kann durch das Einbeschreiben von Trapezen erreicht werden.
3. Schritt: Näherungsweise Berechnung von Flächeninhalten mit ein- und umbeschriebenen Rechtecken. Mit dem Programm Zerlegungs-summen kann die Zahl der Rechtecke problemlos erhöht werden.
     Das Integral als Grenzwert der Zerlegungssumme kann so auf andere Anwendungen wie Rotationsvolumina oder Mittelwerte übertragen werden.

Als Einstieg in das Thema Integralfunktionen eignet sich die Anwendung, bei der man von einer gegebenen Zuflussrate auf den Gefäßinhalt schließen muss. Der Zufluss in den Zeitintervallen mit nicht konstanter Zuflussrate wird bestimmt durch Betrachtung des Mittelwerts der Änderungsrate.

Es müssen 7 Integrale berechnet werden. Die Stammfunktionen und Lösungen sind zur Kontrolle angegeben. Zur Selbstkontrolle ergibt sich ein Lösungswort.

Durch Berechnung von Teilflächen zwischen Schaubild und x-Achse mit dem GTR erkennen die Schülerinnen und Schüler den Einfluss von Teilflächen, die unterhalb der x-Achse liegen, auf die Gesamtfläche.

Die Aufgaben sind eine Sammlung von Anwendungsaufgaben aus ehemaligen Klausuren zur Flächen- und Volumenberechung mit Integralen. Bei den Lösungen wird der GTR vorausgesetzt.

Die Übungsaufgaben sind für die Verwendung eines grafikfähigen Taschenrechners (GTR) gedacht. Für das Modell TI-83 Plus von Texas Instruments sind die einzelnen Bedienungsschritte zur Bearbeitung der Aufgaben ausführlich beschrieben.
Die Lösungen der Aufgaben sind ebenfalls angegeben.

5 einfache Anwendungsaufgaben, bei denen der Bestand aus der Änderungsrate und einem Anfangswert rekonstruiert werden muss. Die unterschiedlichen Informationen in den Aufgabentexten sind farblich hervorgehoben.

Bei den Anwendungsaufgaben ist jeweils die Änderungsrate einer Größe gegeben. Diese muss dann durch Integrieren ermittelt werden (Rekonstruktion des Bestandes).
Bei Aufgabe 3 und 4 ist die ganzrationale Funktion zuerst aufzustellen ("Steckbriefaufgaben").

Mit diesen Arbeitsblättern lernen die Schülerinnen und Schüler mit Hilfe des GTR Uneigentliche Integrale 1. und 2. Art kennen.

Integrale von verketteten Funktionen lösen mit der Methode der linearen Substitution.

6 gebrochen rationale Funktionen sind auf Asymptoten und hebbare Lücken zu untersuchen. Die vorkommenden Ergebnisse sind auf dem Arbeitsblatt unten angegeben.

Eine Kurvendiskussion wird beispielhaft vorgeführt. Die Untersuchung auf Extrem- und Wendepunkte wird mit dem Vorzeichenwechsel durchgeführt. Bei weiteren Übungsaufgaben ist ein Link auf ein Onlineportal zum Überprüfen der Lösungen angegeben.

Die Bastelvorlage wird am besten auf dickeres Papier (z.B. 160 g/m²) kopiert. Nach richtigem Falten entsteht damit ein dreidimensionales Koordinatensystem. Zum Transport kann dieses wieder problemlos auseinander gefaltet werden. Besonders geeignet am Anfang der Unterrichtseinheit Analytische Geometrie.

Vier Expertengruppen zu den Themen

Drei Expertengruppen mit Aufgaben mit Ebenen in Parameterform und Lösungen mit dem GTR zu den Themen

Von zwei Ebenen, die in einem Koordinatensystem dargestellt sind, soll (mit Hilfe der Spurpunkte) jeweils eine Koordinatengleichung ermittelt werden. Durch die Schnittpunkte von Spurgeraden soll die Schnittgerade eingezeichnet, ermittelt und überprüft werden. Hierbei ist räumliches Vorstellungsvermögen gefragt!

Vier unterschiedliche Methoden zur Berechnung des Abstand eines Punktes von einer Geraden im dreidimensionalen Raum werden in den vier Expertengruppen bearbeitet.

In der Excel-Tabelle sollen in alle rot und grün markierten Zellen Formeln eingetragen werden (keine festen Zahlen). Ein korrektes Ergebnis wird mit grüner Farbe markiert. Durch Verändern der Eingangszahlen (Koordinaten der Punkte), wird der allgemeine Zusammenhang zwischen Kreuzprodukt und Dreiecksfläche sowie zwischen Spatprodukt und Pyramidenvolumen erkennbar.

Folgende Fragestellungen aus der Analytischen Geometrie müssen beantwortet werden:

Bei diesem Programm kann die Wahrschinlichkeit, mit der jede Kugel auf einem Nagel nach rechts fällt, eingestellt werden. Dadurch kann man die Wahrscheinlich­keits­verteilung einer binomialverteilten Zufallsvariablen simulieren und erklären. Die Fallgeschwindigkeit der Kugeln kann erhöht werden, indem man die Schrittdauer verringert. Die Zahl der Nagelebenen kann in der Einstellungsdatei Galtonbrett.ini beliebig verändert werden.

Für die einstellbaren Werte p₁, p₂ und n wird ein Alternativtest simuliert. Für einen auszuwählenden kritischen Wert werden Annahme- und Verwerfungsbereich angegeben und die Fehler 1. und 2. Art berechnet.

Ein Hypothesentest kann immer auf die gleiche Weise strukturiert werden. Dazu kann ein Formular verwendet werden, in das die Größen entsprechend eingetragen werden. Mit dem Interaktiven Arbeitsblatt kann die Entscheidungsregel für einen einseitigen Hypothesentest bei vorgegebenem Signifikanzniveau bestimmt werden. Annahme- und Verwerfungsbereich werden im Histogramm dargestellt.

Hypothesentests aus dem Aufgabenfundus des Kultusministeriums Baden-Württemberg und drei Hypothesentests aus der schriftlichen Abiturprüfung Baden-Württemberg 2013 bis 2017.
Bei den Lösungen ist das oben vorgestellte Formular ausgefüllt.